「水平思考」で図形問題を解こう!

今回は図形問題を解く際に私の頭の中がどうなっているのか、詳しく説明していきたいと思います。

タイトルにもある通り「水平思考」が重要です。

問題はベリースライムさんのところからお借りします!いつでも使っていいよーって気さくに言ってくださいました。ありがたいです。

今回は面積を求める問題です。

これをお読みの方は、私の解答を見る前に考えてみてください。楽しさ10倍です。

ちなみに私は解けるまでに1時間程度かかりました。

「ある事」に惑わされてしまったんですね。

こういうことが起きないように水平思考大事!って言ってるんですが、自分自身が固定観念に捕まっちゃいました。

わかった瞬間、「あぁー!!!!」って叫びましたよ。

皆さん、解きました?ここから解説です!

今回は自分の思考を知ってもらいたいので、頭の中をフローチャート(流れ図)みたいにしてご説明したいと思います。

私の頭の中は大体こんな感じです。

空白の四角はいろいろな発想です。繋ぎながら答えを目指します。

Startですが、まず問題を眺めます。「解く」というよりか「眺める」っていうほうが言葉がしっくりきます。

そうすると色々な情報が入ってきます。

今回手に入る情報を並べると

・正方形にくっついて正三角形がある。
・点Gと点Fに関しては位置がはっきりしない。
・角DEFは45°である。
・色のついている四角形は面積が5である。

これだけです。

次にこの情報からわかる事を考えます。
角度や長さが見破れると思います。

わかる所を全部図の中に書きましょう。

ここまでがStartです。

ここからフローチャートでは3方向に分かれていくのですが、いくつも方針を立てないで解けるのが一番ですね。今回は解答にたどりつくために3つ立てています。

このままの図ではもちろん何もわかりませんので、補助線をいくつか引きます。

こんな感じになります。

補助線を入れながらいつの間にか証明されていますが、
内接四角形の性質の逆を利用して点E,G,D,Fが一つの円周上に存在することを示し、
こんどは円周角で角EDFと角EGFが60°である事を示します。

あと、三角形BEAは二等辺三角形になるので、この性質を利用して、
三角形BEF≡三角形GEFを示します。(図に書き忘れましたが、角FEG=角FEB=90°です)

このことより、三角形BFGは正三角形であることが証明できます。

二つ目の正三角形発見!

図形パズルの始まりだ!頭を柔らかくしてよく見るべし

「あっという間にできるんじゃない?」と舐めていたんですが、ここから沼に足を踏み入れてしまいます。

なんとですね、この形

こうなるんです。

1つの直角三角形じゃん!これは解ける!と意気込んで問題を改めて眺めるのですが、これが大誤算である事に30分後位に気が付きます。

すごく綺麗な形になりましたが、さてこの直角三角形面積は出せるでしょうか?

面積が等しい三角形があるのですが、ここから話が進みません。(底辺、高さが一致するため)

この面積が5である四角形との関連性が全く持ってわかりません。

ここで大事なこと。

ここで諦めちゃだめです!
ペンを投げるにはまだ早いです!
図の中に新しく正三角形が現れているんです。別のルートがあったかもしれません。

この直角三角形にこだわっていては埒が明かないので、思考を巻き戻しましょう

正三角形がもう一つ現れたところまで思考を戻します。

次に考えたのは、色のついていない部分が面積5になるのではないかという前提でパズルを行い同じ形を作る方法です。

こんな風にすれば色のついた四角形と同じ形になるかなー?とか考えました。

結果、同じ面積や形にすることは出来ませんでした。

残念。もう一度戻ります。

さあさあお立合い、これが本当の解答だ!

ここで、ある事に気が付きます。

色のついていないところばかりを弄ってないか?

色のついている四角形をみると。。。

え!あ!直角二等辺三角形じゃないですか!!

しかも一辺が正方形と等しいよ!

じゃあ正方形の面積10だよ!

Goal
答え:10

おしまい。

反省のお時間

いやー悔しい。

円周角とか使ってますが、これ確か中学生で学習する内容なんですよね。
ということは、正三角形の証明は他の手段がある事になります。
なんですか?
ちょっと気が付けませんでした。

答えにたどり着くまでにかなり遠回りをしました。
最速で解くのであれば、色のついた面積を変形することを第一に考えるべきでしたね。

30°,45°,60°系のいわゆる辺の長さの比がわかる箇所が多かったので完全にそちらに引っ張られました。

複雑な思考に入る前に、もっと前提を整えておけば沼に足を突っ込むこともなかったかもしれません。

今回は、水平思考の刺激的発想法、概念拡散発想法、反証的発想法を用いています。
詳しくはwikiへどうぞ。

沼ってるなーと感じたら、反証的発想法を利用してまず答えに向かっていそうな方針を叩き潰してみるのもありです。

これがもうちょっと早くできれば。反省。

以上です。

改めてベリースライムさん、良き問題をありがとうございます!

ここまでお付き合いいただきありがとうございます。

他の方にも共有しましょう!

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