「水平思考」で図形問題を解こう!

今回は図形問題を解く際に私の頭の中がどうなっているのか、詳しく説明していきたいと思います。

タイトルにもある通り「水平思考」が重要です。

問題はベリースライムさんのところからお借りします!いつでも使っていいよーって気さくに言ってくださいました。ありがたいです。

今回は面積を求める問題です。

これをお読みの方は、私の解答を見る前に考えてみてください。楽しさ10倍です。

ちなみに私は解けるまでに1時間程度かかりました。

「ある事」に惑わされてしまったんですね。

こういうことが起きないように水平思考大事!って言ってるんですが、自分自身が固定観念に捕まっちゃいました。

わかった瞬間、「あぁー!!!!」って叫びましたよ。

皆さん、解きました?ここから解説です!

今回は自分の思考を知ってもらいたいので、頭の中をフローチャート(流れ図)みたいにしてご説明したいと思います。

私の頭の中は大体こんな感じです。

空白の四角はいろいろな発想です。繋ぎながら答えを目指します。

Startですが、まず問題を眺めます。「解く」というよりか「眺める」っていうほうが言葉がしっくりきます。

そうすると色々な情報が入ってきます。

今回手に入る情報を並べると

・正方形にくっついて正三角形がある。
・点Gと点Fに関しては位置がはっきりしない。
・角DEFは45°である。
・色のついている四角形は面積が5である。

これだけです。

次にこの情報からわかる事を考えます。
角度や長さが見破れると思います。

わかる所を全部図の中に書きましょう。

ここまでがStartです。

ここからフローチャートでは3方向に分かれていくのですが、いくつも方針を立てないで解けるのが一番ですね。今回は解答にたどりつくために3つ立てています。

このままの図ではもちろん何もわかりませんので、補助線をいくつか引きます。

こんな感じになります。

補助線を入れながらいつの間にか証明されていますが、
内接四角形の性質の逆を利用して点E,G,D,Fが一つの円周上に存在することを示し、
こんどは円周角で角EDFと角EGFが60°である事を示します。

あと、三角形BEAは二等辺三角形になるので、この性質を利用して、
三角形BEF≡三角形GEFを示します。(図に書き忘れましたが、角FEG=角FEB=90°です)

このことより、三角形BFGは正三角形であることが証明できます。

二つ目の正三角形発見!

図形パズルの始まりだ!頭を柔らかくしてよく見るべし

「あっという間にできるんじゃない?」と舐めていたんですが、ここから沼に足を踏み入れてしまいます。

なんとですね、この形

こうなるんです。

1つの直角三角形じゃん!これは解ける!と意気込んで問題を改めて眺めるのですが、これが大誤算である事に30分後位に気が付きます。

すごく綺麗な形になりましたが、さてこの直角三角形面積は出せるでしょうか?

面積が等しい三角形があるのですが、ここから話が進みません。(底辺、高さが一致するため)

この面積が5である四角形との関連性が全く持ってわかりません。

ここで大事なこと。

ここで諦めちゃだめです!
ペンを投げるにはまだ早いです!
図の中に新しく正三角形が現れているんです。別のルートがあったかもしれません。

この直角三角形にこだわっていては埒が明かないので、思考を巻き戻しましょう

正三角形がもう一つ現れたところまで思考を戻します。

次に考えたのは、色のついていない部分が面積5になるのではないかという前提でパズルを行い同じ形を作る方法です。

こんな風にすれば色のついた四角形と同じ形になるかなー?とか考えました。

結果、同じ面積や形にすることは出来ませんでした。

残念。もう一度戻ります。

さあさあお立合い、これが本当の解答だ!

ここで、ある事に気が付きます。

色のついていないところばかりを弄ってないか?

色のついている四角形をみると。。。

え!あ!直角二等辺三角形じゃないですか!!

しかも一辺が正方形と等しいよ!

じゃあ正方形の面積10だよ!

Goal
答え:10

おしまい。

反省のお時間

いやー悔しい。

円周角とか使ってますが、これ確か中学生で学習する内容なんですよね。
ということは、正三角形の証明は他の手段がある事になります。
なんですか?
ちょっと気が付けませんでした。

答えにたどり着くまでにかなり遠回りをしました。
最速で解くのであれば、色のついた面積を変形することを第一に考えるべきでしたね。

30°,45°,60°系のいわゆる辺の長さの比がわかる箇所が多かったので完全にそちらに引っ張られました。

複雑な思考に入る前に、もっと前提を整えておけば沼に足を突っ込むこともなかったかもしれません。

今回は、水平思考の刺激的発想法、概念拡散発想法、反証的発想法を用いています。
詳しくはwikiへどうぞ。

沼ってるなーと感じたら、反証的発想法を利用してまず答えに向かっていそうな方針を叩き潰してみるのもありです。

これがもうちょっと早くできれば。反省。

以上です。

改めてベリースライムさん、良き問題をありがとうございます!

ここまでお付き合いいただきありがとうございます。

難問を解くちから「水平思考」をゲームで鍛える

今日ご紹介いたしますのは、「水平思考」を育てることの出来るゲーム「ウミガメのスープ」です。私の塾では講師間で一時期流行っていました。意味の解らないシチュエーションとそれが何故なのか徐々に解き明かされていく爽快感が癖になります。
この機会に皆さんでプレイしてみるのはいかがでしょうか?
途中「水平思考」の具体例を示すために図形の問題を解いていますが、嫌いな方は読み飛ばして大丈夫です。

「水平思考」とは?何の役に立つの?

デボノは従来の論理的思考や分析的思考を垂直思考として、論理を深めるには有効である一方で、斬新な発想は生まれにくいとしている。これに対して水平思考多様な視点から物事を見ることで直感的な発想を生み出す方法である。垂直思考を既に掘られている穴を奥へ掘り進めるのに例えるのなら、水平思考は新しく穴を掘り始めるのに相当する。
水平思考-wikipediaより

wikiに書いてある通り「水平思考」を育てると、既存の枠にとらわれずに斬新な発想が出来るようになります。
この発想力は勉強の面でも非常に役に立ちます。
何か問題を解く際に手が止まってしまったとします。一面的に問題を見ているだけではここから抜け出すことは不可能です。多面的に、新しい発想を持って臨むことで新しい解決への糸口が見えてきます。

水平思考を算数の問題で具体的に説明します

問題です。ベリースライムさんから問題は借りています。超良問を大量に作ってるんで是非チャレンジしてみてください。すべて初等幾何の知識だけで解けるらしいです。

この問題を解くためにまず初めに考えるのは(底辺×高さ÷2)で解くことだと思いますが、いきなり心を折りに来ます。
どの長さもわかんないじゃん!
一面的な考え方だと、この長さをどのように求めるのか?にこだわってしまい結果、何も手が進まずに諦めてしまうと思います。

では「水平思考」を用いていきます。
なぜADの10という長さだけわかっているのか、75度だけ与えられているのか、そして辺の長さが同じである情報もあります。
これらを見たときに、二組の三角定規って30度と45度のところ合体させると75度だなーとか思い出せるなら素晴らしいです。

さてさて、突然ですがこの三角形の面積25です。
え?なんで?
なんとなくです。辺の長さが10としか分かってないので面積は100か50か25あたりです。
この結論に落ち着かせるために、一辺の長さがわかる正方形もしくは底辺と高さのわかる三角形が必要になります。
現状のままではどちらにも行きつかないので、バラバラにします
辺の長さの関係に注意しながら、バラバラにすると下図のようになります。

はやなりのノート

この時、一つ一つの図形は独立して面積を求めるパーツになることは絶対になく、組み合わせなければいけないことを意識してください。辺の長さが同じところを残すように切っていくと、上手くいきます。

ここまでくれば、あとは組み合わせるだけです。2組3種類のパーツが出来上がったので一辺が5になるように直角二等辺三角形を2組作ります。

斜辺を合体すると、あら不思議、正方形が出来ますね!
というわけで面積は25でした。

こんな感じで水平思考は使います。

こっからゲームの話です

具体例を話すのが楽しくなってしまいました。すみません。

前述しました「ウミガメのスープ」ですが、いったいどんなゲームなのか簡単な説明です。
この「ウミガメのスープ」は二人以上のグループで行います。一人が出題者となり、他の人は質問者となり、はい/いいえ、で答えられる質問を出題者にします。(ストーリーに関係のない質問については出題者は「ストーリーに関係ありません」と答えます)
質問者は、質問をすることで出題者が考えているストーリーを推測し、真実を解明することができた時、ゲーム終了です。
真相解明、探偵ごっこ出来るわけです。

お題は自分で考えるのもいいのですが、内容が浅くなってしまうことが多いので、アプリやボードゲームになっていますのでそこからお題を持ってくるのがいいと思います。

ちなみに、ゲームタイトルになっている「ウミガメのスープ」ですが、このタイトルのお題も存在します。紹介します。

「ウミガメのスープ」
ある船乗りがふらっと立ち寄ったレストランで「海亀のスープ」を頼みました。ウェイトレスが運んできたスープを一口飲んだ船乗りは、とても驚いた表情を浮かべ、そのウェイトレスに「これは本当に海亀のスープですか?」と聞きました。ウェイトレスの「はい」という返事を聞くと、船乗りはそれ以上スープを飲むことなく店を出て行きました。そしてその夜、その船乗りは自殺をしてしまいました。どうして船乗りは自殺をしてしまったのでしょうか?
ゲーム内のテキストから抜粋

真相は伏せます。ちなみに解明していくとわかるのですが、なかなかエグイ話です。
実際の問題はもうちょっと明るいお題もあるので大丈夫です。

このゲームを楽しくプレイするためのコツ

出題者はお題の状況を出来るだけ明確に想像しましょう。考えてもいない方向から質問が来るとテンポよく質問を返せなくなってしまいます。
質問者は、お互いの質問の意図を汲み取りながら出来るだけ短い時間で解決できることを目指しましょう。また、意味不明な質問をして出題者を困らせない様にしましょう。

状況によっては煮詰まってしまうこともあるので、程よくヒントを挟むと真相に近づけるかもしれません。

ゲームがヒートアップしてくると、出題者がはい/いいえ以外で答えていることもあるので、余計な情報を与えないように気を付けましょう。

この退屈な時間を使って思考力を育てましょう!

ここまでお付き合いいただきありがとうございました!